EM Chap4-6

chap4 时变电磁场

时谐电磁场的表达

\vec{E(t)}=Re[E_m(\vec{r})e^{j\omega t}]

波动方程

适合无源区
任意区域

\nabla^2\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2E}{\partial t^2}=\mu\frac{\partial\vec{J}}{\partial t}+\frac{1}{\varepsilon}\nabla\rho,\nabla^2\vec{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2H}{\partial t^2}=-\nabla\times\vec{J}

无源区

\nabla^2\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2E}{\partial t^2}=0,\nabla^2\vec{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2H}{\partial t^2}=0

位函数方程(达朗贝尔方程)

\nabla^2\vec{A}-\varepsilon\mu\frac{\partial^2 A}{\partial t^2}=-\mu\vec{J}+\nabla(\nabla\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial \phi}{\partial t}),\partial^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon}-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\vec{A})

两个规范

\begin{matrix}
库伦规范\nabla\cdot\vec{A}=0\\\\
洛伦兹规范(适合有源区)\nabla\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial \phi}{\partial t}=0
\end{matrix}

时谐Maxwell

\begin{matrix}
\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+j\omega\vec{D}\\\\
\nabla\times\vec{E}=-j\omega\vec{B}\\\\
\nabla\cdot\vec{D}=\rho\\\\
\nabla\cdot\vec{B}=0\\\\
\nabla\cdot\vec{J}=-j\omega\rho
\end{matrix}

得到亥姆霍兹方程

\begin{matrix}
\nabla^2\vec{E}+k^2\vec{E}=0\\\\
\nabla^2\vec{H}+k^2\vec{H}=0\\\\
k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}(波数)
\end{matrix}

对有损耗媒质

\begin{matrix}
\varepsilon_c=\varepsilon-j\frac{\sigma}{\omega}=\varepsilon'-j\varepsilon''\\\\
损耗角tg\delta=\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}
\end{matrix}

电磁能量守恒

波印廷定理

\begin{matrix}
-\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{H})&=\vec{E}\cdot\vec{J}+\frac{1}{2}\frac{\partial(\vec{D}\cdot\vec{E})}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial(\vec{H}\cdot\vec{B})}{\partial t}\\\\
流入/流出&=损耗+电场储能+磁场储能
\end{matrix}

波印廷项的符号表示流入流出,-为流入空间能量
波印廷矢量

\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}

方向表示电能传输方向,大小表示功率面密度

瞬时\平均

瞬时

瞬时波印廷

\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}=Re[\vec{E}e^{j\omega t}]\times Re[\vec{H}e^{j\omega t}]

瞬时电场磁场储能

w_e=\frac{1}{2}Re[\vec{E}e^{j\omega t}]\cdot Re[\vec{D}e^{j\omega t}]/w_m=\frac{1}{2}Re[\vec{H}e^{j\omega t}]\cdot Re[\vec{B}e^{j\omega t}]

瞬时耗能

P_{loss}=Re[\vec{E}e^{j\omega t}]\cdot Re[\vec{J}e^{j\omega t}]

平均

平均波印廷

\vec{S_{avg}}=\frac{1}{2}Re[\vec{E}\times\vec{H}^*]

平均电场磁场

\vec{W_{Eavg}}=\frac{1}{4}Re[\vec{D}\cdot\vec{E}^*],\vec{W_{Mavg}}=\frac{1}{4}Re[\vec{B}\cdot\vec{H}^*]

平均耗能

\vec{S_{avg}}=\frac{1}{2}\sigma\vec{E}^2

chap5 时谐电磁场的空间传播

均匀平面波

\begin{matrix}
&E_i=Re[E_i(z)e^{j\omega t}]=E_{i1}+E_{i2}\\&=E_{im1}cos(\omega t-kz+\phi_1)+E_{im2}cos(\omega t+kz+\phi_2)
\end{matrix}

-kz向+z传播,+kz向-z传播
为TEM波,没用传播方向的分量
电场和磁场的关系:同项差η倍

\begin{matrix}
\vec{E_m}=-\eta\vec{e_n}\times\vec{H_m}\\\\
\vec{H_m}=\frac{1}{\eta}\vec{e_n}\times\vec{E_m}\\\\
波阻抗\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}},\eta_0=377\Omega
\end{matrix}

传播参数

\begin{matrix}
\omega=\frac{2\pi}{T},\lambda=\frac{1}{f\sqrt{\mu\varepsilon}}
\end{matrix},v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}

能量传播

\begin{matrix}
w=\frac{1}{2}\varepsilon E^2+\frac{1}{2}\mu H^2\\\\
\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}=\vec{e_n}\frac{1}{\eta}\vec{E}^2=\vec{e_n}\frac{\eta}{2}\vec{H_m}^2\\\\
\vec{S_{avg}}=\vec{e_n}\frac{1}{2\eta}E_m^2=\vec{e_m}\\\\
能速\vec{v_e}=\frac{\vec{S}}{w}=\vec{e_n}\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\vec{v_p}
\end{matrix}

相速与能速相同

导体中

\begin{matrix}
k_c=\omega\sqrt{\mu\varepsilon_c}=\beta-j\alpha\\\\
\vec{E}(\vec{r})=\vec{E_m}e^{-\alpha \vec{e_n}\cdot\vec{r}}e^{-j\beta\vec{e_n}\cdot\vec{r}}
\end{matrix}

衰减因子

\begin{matrix}
e^{-\alpha z}
\end{matrix}

电场磁场关系

\begin{matrix}
\eta_c=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon_c}}=|\eta_c|e^{-j\phi}\\\\
\vec{H}=\frac{1}{|\eta_c|}\vec{E_m}e^{-\alpha z}e^{-j(\beta z+\phi)}
\end{matrix}

磁场滞后电场

传播参数

\begin{matrix}
衰减常数\alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}(\sqrt{1+(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon})^2}-1)}\\\\
相位常数\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}(\sqrt{1+(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon})^2}+1)}\\\\
特征阻抗\eta_c=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon_c}}=|\eta_c|e^{-j\phi}\\\\
传播常数\gamma=\alpha+j\beta=jk_c=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon_c}\\\\
\lambda=\frac{2\pi}{\beta},v=\frac{\omega}{\beta}
\end{matrix}

对弱导电介质

\begin{matrix}
\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}<<1\\\\
\gamma\approx j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}+\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\Rightarrow\alpha=\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}},\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\\\\
\eta_c\approx\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}(1+j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon})
\end{matrix}

对良好导体

\begin{matrix}
\gamma\approx\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}(1+j)\\\\
\alpha\approx\beta\approx\sqrt{\pi f\mu\sigma}\\\\
v_p=\frac{\omega}{\beta}\approx\sqrt{\frac{2\omega}{\mu\sigma}},\lambda=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{v}{f}\approx2\sqrt{\frac{\pi}{f\mu\sigma}}
\end{matrix}

磁场相位滞后电场45°

趋肤深度

\begin{matrix}
\delta=\frac{1}{\alpha}\approx\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}
\end{matrix}

色散

导电介质中,不同频率波的速度不同的现象